Kako grafično prikazati kvadratno enačbo: 10 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Robert Blare | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-02-02 02:08

Kadar so prikazane kvadratne enačbe oblike sekira² + bx + c ali a (x - h)² + k dajte gladko krivuljo v obliki črke U ali obratno krivuljo v obliki črke U, imenovano parabola. Grafiranje kvadratne enačbe je stvar iskanja njene točke, smeri in pogosto prestrezov x in y. V primerih razmeroma preprostih kvadratnih enačb je lahko tudi dovolj, da vključimo obseg vrednosti x in na podlagi nastalih točk narišemo krivuljo. Za začetek glejte 1. korak.

Koraki

Korak 1. Ugotovite, katero obliko kvadratne enačbe imate

Kvadratno enačbo lahko zapišemo v treh različnih oblikah: standardni obliki, obliki vrha in kvadratni obliki. Za oblikovanje kvadratne enačbe lahko uporabite katero koli obliko; postopek grafičnega prikaza vsakega je nekoliko drugačen. Če delate domačo nalogo, boste običajno težavo prejeli v eni od teh dveh oblik - z drugimi besedami, ne boste mogli izbrati, zato je najbolje razumeti oboje. Dve obliki kvadratne enačbe sta:

• Standardni obrazec.

  V tej obliki je kvadratna enačba zapisana kot: f (x) = ax² + bx + c, kjer so a, b in c realna števila in a ni enako nič.

  Na primer, dve standardni kvadratni enačbi sta f (x) = x² + 2x + 1 in f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex oblika.

  V tej obliki je kvadratna enačba zapisana kot: f (x) = a (x - h)² + k, kjer so a, h in k realna števila in a ni enako nič. Oblika vrhov je tako poimenovana, ker vam h in k neposredno podajate točko (osrednjo točko) vaše parabole na točki (h, k).

  Dve enačbi oblike točk sta f (x) = 9 (x - 4)² + 18 in -3 (x - 5)² + 1

• Za grafično prikazovanje ene od teh vrst enačb moramo najprej najti točko parabole, ki je osrednja točka (h, k) na "konici" krivulje. Koordinate oglišča v standardni obliki so podane z: h = -b/2a in k = f (h), v obliki vrha pa sta h in k v enačbi podana.

Korak 2. Določite spremenljivke

Za rešitev kvadratnega problema je običajno treba določiti spremenljivke a, b in c (ali a, h in k). Povprečen problem algebre vam bo dal kvadratno enačbo z izpolnjenimi spremenljivkami, običajno v standardni obliki, včasih pa v obliki vrha.

• Na primer za enačbo standardne oblike f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 in c = 39.
• Za enačbo oblike točke f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 in k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

V enačbah v obliki vrha je vaša vrednost za h že podana, v enačbah standardne oblike pa jo je treba izračunati. Ne pozabite, da je za enačbe standardne oblike h = -b/2a.

• V našem primeru standardne oblike (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Pri reševanju ugotovimo, da je h = - 4.
• V našem primeru vertex oblike (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vemo, da je h = 5 brez matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Tako kot pri h je tudi k že poznano v enačbah oblike točke. Za enačbe standardne oblike ne pozabite, da je k = f (h). Z drugimi besedami, k lahko najdete tako, da vsak primer x v enačbi zamenjate z vrednostjo, ki ste jo pravkar našli za h.

• V našem primeru standardne oblike smo določili, da je h = -4. Če želimo najti k, rešimo našo enačbo z vrednostjo za h, ki nadomesti x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7. korak.

• V našem primeru z vertexom spet poznamo vrednost k (kar je 12), ne da bi morali pri tem izračunati.

Korak 5. Narišite svojo točko

Vrh vaše parabole bo točka (h, k) - h določa koordinato x, k pa koordinato y. Vrh je osrednja točka vaše parabole - bodisi dno "U" ali sam vrh obrnjenega "U." Poznavanje oglišča je bistven del grafičnega oblikovanja natančne parabole - pogosto bo pri šolskih nalogah določanje oglišča nujen del vprašanja.

• V našem primeru standardne oblike bo naše oglišče na (-4, 7). Torej bo naša parabola dosegla vrh 4 prostorov levo od 0 in 7 presledkov nad (0, 0). To točko bi morali narisati na naš graf, pri tem pa označiti koordinate.
• V našem primeru oblike točke je naše oglišče na (5, 12). Točko bi morali narisati 5 presledkov desno in 12 presledkov nad (0, 0).

Korak 6. Narišite os parabole (neobvezno)

Simbol simetrije osi parabole je črta, ki teče skozi njeno sredino in jo popolnoma razdeli na polovico. Čez to os bo leva stran parabole zrcalila desno stran. Za kvadratne oblike ax² + bx + c ali a (x - h)² + k, os je črta, vzporedna z osjo y (z drugimi besedami, popolnoma navpična) in poteka skozi točko.

V primeru našega primera standardne oblike je os črta, vzporedna z osjo y, ki poteka skozi točko (-4, 7). Čeprav ni del same parabole, vam lahko rahlo označevanje te črte na grafikonu sčasoma pomaga videti, kako se parabola ukrivi simetrično

Korak 7. Poiščite smer odpiranja

Ko smo ugotovili točko in os parabole, moramo vedeti, ali se parabola odpre navzgor ali navzdol. Na srečo je to enostavno. Če je "a" pozitivno, se bo parabola odprla navzgor, če pa je "a" negativna, se bo parabola odprla navzdol (to je, da se bo obrnila na glavo.)

• Za naš primer standardnega obrazca (f (x) = 2x² + 16x + 39), vemo, da imamo parabolo, ki se odpira navzgor, ker je v naši enačbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primer oblike točke (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vemo, da imamo tudi parabolo, ki se odpira navzgor, ker je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Po potrebi poiščite in narišite x prestrezke

Pri šolskem delu boste pogosto morali najti paraboline x-prestreze (ki sta bodisi ena ali dve točki, kjer parabola ustreza osi x). Tudi če jih ne najdete, sta lahko ti dve točki neprecenljivi za risanje natančne parabole. Vendar nimajo vse parabole prestrezkov x. Če ima vaša parabola točko, ki se odpre navzgor in ima točko nad osjo x, ali če se odpre navzdol in ima točko pod osjo x, ne bo imel nobenih prestrezov x. V nasprotnem primeru rešite svoje prestrezke x z eno od naslednjih metod:

• Preprosto nastavite f (x) = 0 in rešite enačbo. Ta metoda lahko deluje za preproste kvadratne enačbe, zlasti v obliki teme, vendar se bo izkazala za izjemno težko za bolj zapletene. Za primer glejte spodaj

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 in 13 so parabolični x-prestrezi.

• Faktorizirajte svojo enačbo. Nekaj enačb v sekiri² Obrazec + bx + c je mogoče enostavno dodati v obliko (dx + e) (fx + g), kjer je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx in e × g = c. V tem primeru so vaši prestrezi x vrednosti za x, ki pomenijo oba izraza v oklepaju = 0. Na primer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • V tem primeru je vaše edino prestrezanje x -1, ker bo nastavitev x enaka -1 kateri koli izračun v oklepaju enak 0.

• Uporabite kvadratno formulo. Če ne morete zlahka rešiti prestrezkov x ali faktorja vaše enačbe, uporabite posebno enačbo, imenovano kvadratna formula, zasnovana prav za ta namen. Če še ni, vnesite svojo enačbo v obrazec ax² + bx + c, nato priključite a, b in c v formulo x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Upoštevajte, da vam to pogosto daje dva odgovora za x, kar je v redu - to samo pomeni, da ima vaša parabola dva prestreza x. Za primer glejte spodaj:

  • -5x² + 1x + 10 se vključi v kvadratno formulo na naslednji način:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) in (-15,18/-10). Prestrezi parabole x so približno pri x = - 1.318 in 1.518
  • Naš prejšnji primer standardnega obrazca, 2x² + 16x + 39 se vključi v kvadratno formulo na naslednji način:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10)
  • Ker je nemogoče najti kvadratni koren negativnega števila, to vemo brez x prestrezov obstajajo za to posebno parabolo.

Korak 9. Po potrebi poiščite in narišite prestrezanje y

Čeprav pogosto ni potrebno najti prestreza y enačbe (točka, na kateri parabola prehaja skozi os y), boste morda morali to storiti, še posebej, če ste v šoli. Ta postopek je dokaj enostaven - samo nastavite x = 0, nato pa rešite svojo enačbo za f (x) ali y, ki vam daje vrednost y, pri kateri vaša parabola prehaja skozi os y. Za razliko od prestrezkov x imajo lahko standardne parabole le en prestreg y. Opomba - za enačbe standardne oblike je prestrezanje y pri y = c.

• Poznamo na primer našo kvadratno enačbo 2x² + 16x + 39 ima prestrezanje y pri y = 39, lahko pa ga najdemo tudi na naslednji način:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Prestrezanje parabole y je pri y = 39.

    Kot je navedeno zgoraj, je prestrezanje y pri y = c.

• Naša enačba oblike ogljika 4 (x - 5)² + 12 ima prestrezanje y, ki ga lahko najdete na naslednji način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Prestrezanje parabole y je pri y = 112.

Korak 10. Če je potrebno, narišite dodatne točke in nato grafično

Zdaj bi morali imeti točko, smer, prestrezanje (-a) x in po možnosti y -prestrezanje za svojo enačbo. Na tej točki lahko poskusite narisati svojo parabolo z uporabo točk, ki jih imate kot vodilo, ali pa najdete več točk, da "zapolnite" svojo parabolo, da bo krivulja, ki jo narišete, natančnejša. Najlažji način za to je, da preprosto vstavite nekaj vrednosti x na obeh straneh vašega oglišča, nato pa te točke narišete z vrednostmi y, ki jih dobite. Učitelji bodo pogosto zahtevali, da pridobite določeno število točk, preden narišete svojo parabolo.

• Ponovimo enačbo x² + 2x + 1. Že vemo, da je edino prestrezanje x pri x = -1. Ker se le na eni točki dotakne prestrezanja x, lahko sklepamo, da je njegovo oglišče njegovo prestrezanje x, kar pomeni, da je njegovo oglišče (-1, 0). Za to parabolo imamo dejansko samo eno točko - ni dovolj, da bi narisali dobro parabolo. Najdemo jih še nekaj, da zagotovimo, da narišemo natančen graf.

  • Poiščimo vrednosti y za naslednje vrednosti x: 0, 1, -2 in -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša točka je (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša točka je (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša točka je (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša točka je (-3, 4).

  • Te točke narišite na graf in narišite krivuljo v obliki črke U. Upoštevajte, da je parabola popolnoma simetrična - ko vaše točke na eni strani parabole ležijo na celih številih, si običajno lahko prihranite nekaj dela, tako da preprosto odsevate dano točko po osi simetrije parabole, da poiščete ustrezno točko na drugi strani parabole.

Video - z uporabo te storitve se lahko nekateri podatki delijo z YouTubom

Nasveti

• Upoštevajte, da je v f (x) = ax² + bx + c, če je b ali c enako nič, te številke izginejo. Na primer 12x² + 0x + 6 postane 12x² + 6, ker je 0x 0.
• Zaokrožite številke ali uporabite ulomke, kot vam pove učitelj algebre. To vam bo pomagalo pravilno grafično prikazati kvadratne enačbe.