Apollonsko tesnilo je vrsta fraktalne slike, ki nastane iz zbirke vedno manjših krogov, ki jih vsebuje en sam velik krog. Vsak krog v Apolonovem tesnilu je tangenten na sosednja kroga - z drugimi besedami, krogi v Apolonovem tesnilu se dotikajo na neskončno majhnih točkah. Ta tip fraktala, poimenovan po grškem matematiku Apoloniju iz Perge, je mogoče risati (ročno ali z računalnikom) do razumne stopnje kompleksnosti in oblikovati lepo, presenetljivo podobo. Za začetek glejte 1. korak.
Koraki
1. del od 2: Razumeti ključne koncepte
Če želite biti popolnoma jasni, če vas preprosto zanima risanje apolonskega tesnila, ni nujno, da raziščete matematična načela za fraktalom. Če pa želite globlje razumeti Apolonova tesnila, je pomembno, da razumete opredelitve več konceptov, ki jih bomo uporabili pri njihovi razpravi.
Korak 1. Določite ključne izraze
V spodnjih navodilih se uporabljajo naslednji izrazi:
- Apollonsko tesnilo: Eno od več imen za vrsto fraktala, sestavljeno iz niza krogov, gnezdenih v enem velikem krogu in tangentno na vse ostale v bližini. Imenujejo jih tudi "Soddy Circles" ali "Kissing Circles".
- Polmer kroga: razdalja od središča kroga do roba. Običajno je dodeljena spremenljivka r.
- Ukrivljenost kroga: pozitivna ali negativna inverzija polmera ali ± 1/r. Ukrivljenost je pri zunanji ukrivljenosti kroga pozitivna, pri notranji pa negativna.
- Tangenta: Izraz, ki se uporablja za črte, ravnine in oblike, ki se sekajo v eni neskončno majhni točki. V Apolonskih tesnilih se to nanaša na dejstvo, da se vsak krog dotakne vsakega bližnjega kroga le na eni točki. Upoštevajte, da ni križišča - tangentne oblike se ne prekrivajo.
Korak 2. Razumeti Descartesov izrek
Descartesov izrek je formula, ki je uporabna za izračun velikosti krogov v Apolonovem tesnilu. Če ukrivljenosti (1/r) poljubnih treh krogov definiramo kot a, b in c, izrek navaja, da je ukrivljenost kroga (ali krogov), ki se dotika vseh treh, ki jih bomo opredelili kot d, enaka: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Za naše namene bomo na splošno uporabili le odgovor, ki ga dobimo tako, da pred kvadratni koren postavimo znak plus (z drugimi besedami, … + 2 (sqrt (…)). Zaenkrat je dovolj vedeti, da odštevanje oblika enačbe se uporablja pri drugih sorodnih nalogah
2. del 2: Konstrukcija apolonskega tesnila
Apollonska tesnila so v obliki lepih fraktalnih aranžmajev skrčljivih krogov. Matematično so Apolonova tesnila neskončno zapletena, toda ne glede na to, ali uporabljate računalniški program za risanje ali tradicionalna orodja za risanje, boste sčasoma prišli do točke, ko je nemogoče narisati manjše kroge. Upoštevajte, da bolj natančno kot narišete svoje kroge, bolj jih boste lahko namestili v tesnilo.
Korak 1. Zberite digitalna ali analogna orodja za risanje
V spodnjih korakih bomo izdelali lastno preprosto Apolonovo tesnilo. Apollonska tesnila lahko narišete ročno ali na računalniku. V vsakem primeru boste želeli narisati popolnoma okrogle kroge. To je dokaj pomembno. Ker je vsak krog v apolonskem tesnilu popolnoma tangenten na kroge poleg njega, lahko krogi, ki so celo nekoliko deformirani, "odvržejo" vaš končni izdelek.
- Če rišete Tesnilo na računalniku, boste potrebovali program, ki vam omogoča enostavno risanje krogov s fiksnim polmerom iz osrednje točke. Gfig, razširitev vektorske risbe za brezplačni program za urejanje slik GIMP, lahko uporabite tudi številne druge programe za risanje (ustrezne povezave najdete v razdelku z materiali). Za zapisovanje ukrivljenosti in polmerov boste verjetno potrebovali tudi kalkulator in dokument za urejanje besedil ali fizično beležnico.
- Za ročno risanje tesnila boste potrebovali kalkulator (predlagano znanstveno ali grafično), svinčnik, kompas, ravnilo (po možnosti lestvico z milimetrskimi oznakami, grafični papir in beležnico za zapiske).
Korak 2. Začnite z enim velikim krogom
Vaša prva naloga je enostavna - samo narišite en velik, popolnoma okrogel krog. Večji kot je krog, bolj zapleteno je lahko vaše tesnilo, zato poskusite narediti krog tako velik, kot vam dopušča papir, ali tako velik, kot ga lahko preprosto vidite v enem oknu programa za risanje.
Korak 3. Ustvarite manjši krog znotraj izvirnika, tangenten na eno stran
Nato v prvem narišite še en krog, ki je manjši od izvirnika, vendar še vedno precej velik. Natančna velikost drugega kroga je odvisna od vas - pravilne velikosti ni. Za naše namene pa narišimo naš drugi krog tako, da sega točno na polovico našega velikega zunanjega kroga. Z drugimi besedami, narišimo naš drugi krog tako, da bo njegova osrednja točka sredina polmera velikega kroga.
Ne pozabite, da se v Apollonian Tesnilih vsi krogi, ki se dotikajo, dotikajo drug drugega. Če uporabljate kompas za ročno risanje krogov, znova ustvarite ta učinek, tako da ostro točko kompasa postavite na sredino polmera velikega zunanjega kroga in svinčnik prilagodite tako, da se bo le dotikal roba velikega kroga, nato narišite svoj manjši notranji krog
Korak 4. Narišite enak krog "čez" manjši notranji krog
Nato narišimo še en krog nasproti našega prvega. Ta krog bi se moral dotikati velikega zunanjega kroga in manjšega notranjega kroga, kar pomeni, da se bosta vaša dva notranja kroga dotikala točno na sredini velikega zunanjega kroga.
Korak 5. Uporabite Descartesov izrek, da ugotovite velikost naslednjih krogov
Nehajmo za trenutek risati. Zdaj, ko imamo v našem Tesnilu tri kroge, lahko z Descartesovim izrekom poiščemo polmer naslednjega kroga, ki ga bomo narisali. Ne pozabite, da je Descartesov izrek d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), kjer so a, b in c ukrivljenosti vaših treh tangentnih krogov in d je ukrivljenost kroga, ki se dotika vseh treh. Torej, da bi našli polmer našega naslednjega kroga, poiščimo ukrivljenost vsakega od krogov, ki jih imamo do sedaj, tako da lahko najdemo ukrivljenost naslednjega kroga, nato pa to pretvorimo v njegov polmer.
-
Polmer našega zunanjega kroga opredelimo kot
Korak 1.. Ker so drugi krogi znotraj tega, imamo opravka z njegovo notranjo ukrivljenostjo (in ne z zunanjo ukrivljenostjo), zato vemo, da je njegova ukrivljenost negativna. -1/r = -1/1 = -1. Ukrivljenost velikega kroga je - 1.
-
Polmeri manjših krogov so za polovico večji od velikega kroga ali, z drugimi besedami, 1/2. Ker se ti krogi dotikajo drug drugega in velikega kroga z zunanjim robom, imamo opravka z njihovo zunanjo ukrivljenostjo, zato so njihove ukrivljenosti pozitivne. 1/(1/2) = 2. Ukrivljenosti manjših krogov sta obe
2. korak..
-
Zdaj vemo, da je a = -1, b = 2 in c = 2 za našo enačbo Descartesovega izreka. Rešimo za d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Ukrivljenost našega naslednjega kroga je
3. korak.. Ker je 3 = 1/r, je polmer našega naslednjega kroga 1/3.
Korak 6. Ustvarite svoj naslednji niz krogov
Z vrednostjo polmera, ki ste jo pravkar našli, narišite naslednja dva kroga. Ne pozabite, da bodo te tangentne na kroge, katerih ukrivljenosti ste uporabili za a, b in c v Descartesovi izreki. Z drugimi besedami, dotikajo se tako prvotnega kot drugega kroga. Če želite, da so ti krogi tangentni na vse tri kroge, jih boste morali narisati v odprtih prostorih na vrhu in dnu območja znotraj vašega velikega prvotnega kroga.
Ne pozabite, da bodo polmeri teh krogov enaki 1/3. Izmerite 1/3 nazaj od roba zunanjega kroga, nato narišite svoj novi krog. Morala bi biti tangentna na vse tri okoliške kroge
Korak 7. Nadaljujte tako, da nadaljujete z dodajanjem krogov
Ker so fraktali, so Apolonova tesnila neskončno zapletena. To pomeni, da lahko po želji dodate vse manjše kroge. Omejeni ste le z natančnostjo svojih orodij (ali, če uporabljate računalnik, zmožnostjo programa za risanje "povečati"). Vsak krog, ne glede na to, kako majhen je, mora biti tangenten na tri druge kroge. Če želite v svoj Tesnilo narisati vsak naslednji krog, ukrivite ukrivljenosti treh krogov, na katere se bo dotaknil, v Descartesov izrek. Nato z odgovorom (ki bo polmer vašega novega kroga) natančno narišite svoj novi krog.
- Upoštevajte, da je tesnilo, ki smo ga izbrali za risanje, simetrično, zato je polmer enega kroga enak ustreznemu krogu "nasproti njega". Vendar vedite, da ni vsako Apolonovo tesnilo simetrično.
-
Poglejmo še en primer. Recimo, da po risanju zadnjega niza krogov želimo zdaj narisati kroge, ki se dotikajo našega tretjega niza, drugega niza in našega velikega zunanjega kroga. Ukrivljenosti teh krogov so 3, 2 oziroma -1. Priključimo te številke v Descartesov izrek in nastavimo a = -1, b = 2 in c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Imamo dva odgovora! Ker pa vemo, da bo naš novi krog manjši od katerega koli kroga, na katerega se dotika, bo le ukrivljenost
6. korak. (in zato polmer 1/6) je smiselno.
- Naš drugi odgovor 2 se dejansko nanaša na hipotetični krog na drugi strani tangentne točke našega drugega in tretjega kroga. Ta krog je tangentno na oba kroga in na velik zunanji krog, vendar bi sekalo kroge, ki smo jih že narisali, zato ga lahko zanemarimo.
Korak 8. Za izziv poskusite narediti nesimetrično Apolonovo tesnilo tako, da spremenite velikost drugega kroga
Vsa Apolonova tesnila se začnejo enako - z velikim zunanjim krogom, ki deluje kot rob fraktala. Vendar ni razloga, da mora vaš drugi krog nujno imeti 1/2 polmera prvega - to smo izbrali zgoraj, ker je preprosto in lahko razumljivo. Za zabavo poskusite zagnati novo tesnilo z drugim krogom druge velikosti - to bo vodilo do razburljivih novih poti raziskovanja.
